Il n’y a pas grand-chose de plus amusant qu’un raisonnement logique dont un esprit supérieur tire toutes les conclusions. Je pense que la plupart d’entre vous a déjà entendu parler du théorème d’incomplétude de Gödel ? Vous savez aussi que beaucoup de gens se sont emparés de lui pour lui faire dire beaucoup de choses en dehors des mathématiques, ce qui a poussé pas mal de scientifiques et de philosophes des sciences (Sokal, Bricmont, Bouveresse…) à une sainte colère (pas forcément injustifié, d’ailleurs, mais avec un ton de pion assez désagréable). Cependant, Gödel lui-même tirait d’étranges conclusions de ses propres découvertes…



Sorti très récemment, l’ouvrage que Pierre Cassou-Noguès consacre à la part irrationnelle de la pensée de Gödel, Les démons de Gödel, est un des livres scientifiques les plus amusant qu’il m’a été donné de lire ces derniers temps. On est pris, à cette lecture du petit rire nerveux que Borges se réjouissait de provoquer, grâce à ses paradoxes, chez le lecteur français dans une fameuse entrevue avec Georges Charbonnier. Dans l’extrait qui suit, Pierre Cassou-Noguès explique comment Gödel infère l’existence de l’âme donc de Dieu à partir de l’incomplétude…

Ou bien [...] les axiomes évidents [des mathématiques] ne peuvent pas se résumer dans une règle finie, c’est-à-dire que l’esprit humain (même dans le domaine des mathématiques pures) surpasse infiniment les capacités de toute machine finie, ou bien il existe des problèmes diophantiens absolument indécidables[...].

Si la totalité des propositions susceptibles de devenir évidentes pour l’esprit humain, et que nous pouvons donc poser comme axiomes, se laissent décrire par une règle finie, c’est-à-dire peuvent être écrites par une machine de Turing, alors les théorèmes qui en découlent peuvent également être enchaînés par une machine de Turing, et le système est incomplet. Si nos mathématiques ne doivent pas laisser de propositions indécidées, de problèmes ouverts, si nos mathématiques doivent être complètes, il faut que leurs axiomes, le domaine de l’évidence, dépassent ce que peut écrire une machine de Turing, il faut que nos mathématiques soient « inexhaustibles Â», comme Gödel le dit parfois.
L’intérêt de ce dilemme pour Gödel est que chacun des deux termes s’oppose « Ã  la philosophie matérialiste Â». D’un côté, en effet, s’il existe des problèmes indécidables pour l’esprit humain, alors les objets mathématiques gardent, et garderont toujours des propriétés qui nous échappent, ce qui signifie (c’est l’argument de Gödel pour la réalité des objets) que les objets mathématiques ont une existence autonome, et il faut donc admettre un plan de réalité (un troisième monde ou une raison inconsciente) irréductible au monde sensible. De l’autre côté, Gödel est convaincu (j’y reviendrai) que le cerveau humain est une machine de Turing. Ainsi, si l’esprit humain surpasse toute machine de Turing, son fonctionnement est irréductible au mécanisme du cerveau et révèle une autre réalité, une sorte d’âme, elle-même irréductible au monde sensible. C’est, finalement, dans ce résultat que se résume pour Gödel le théorème d’incomplétude, l’impossibilité de se passer d’un objet non matériel :

Mon théorème montre seulement que la mécanisation des mathématiques, i. e. l’élimination de l’esprit et des entités abstraites, est impossible, si l’on veut obtenir une fondation et un système satisfaisants des mathématiques.

Le dilemme, dans sa formulation initiale, a ce défaut que les deux conclusions auxquelles l’alternative aboutit (les objets mathématiques ont une réalité hors du monde sensible ou l’esprit est lui-même une réalité indépendante du monde sensible) sont, pour Gödel, toutes les deux vraies. On a « prouvé une disjonction alors qu’en réalité c’est la conjonction qui est vraie Â». Néanmoins, ce dilemme, qui ne fait qu’exprimer un théorème logique, est un point d’appui, rigoureux, dans l’opposition au matérialisme et à l’esprit du temps. Dès 1934, Gödel remarquait que, grâce au programme formaliste, « certaines questions concernant la structure des mathématiques, qui, auparavant, ne relevaient que de spéculations vagues et ne pouvaient pas même être énoncées avec précision, sont maintenant susceptibles d’un traitement scientifique Â». Le dilemme est, en fait, « peut-être la première proposition rigoureusement prouvée à propos d’un concept philosophique Â».

NB : je n’ai pas cité les notes.